Лекція № 4. Площина

Лекція № 4. Площина

1. Визначення положення площини

Для довільно розташованої площині проекції її точок заповнюють всі три площини проекцій. Тому не має сенсу говорити про проекції всій площині цілком, потрібно розглядати лише проекції таких елементів площини, які її визначають.

На підставі законів стереометрії площину визначається, коли відомі належні їй:

1) три точки, що не лежать на одній прямій;

2) пряма і точка, яка не перебуває на цій прямій;

3) дві пересічні прямі;

4) дві паралельні прямі.

Отже, площина буде вважатися заданої, якщо є на епюрі одна з перерахованих вище комбінацій елементів, що визначають дану площину (рис. 35 випадки 1, 2, 3, 4).

Всі чотири способи встановлення площини рівнозначні, так як легко маючи одну комбінацію елементів, зображену на малюнку 35 перейти до будь-якої іншої.

Якщо з'єднати однойменні проекції трьох точок А, В і С, що визначають дану площину (рис. 35, випадок 5), можна отримати проекції трикутника ABC, що лежить в цій площині. Спосіб зображення площини у вигляді трикутника, не є принципово новим, але має в порівнянні з іншими чотирма випадками більшою наочністю.

2. Сліди площини

Слід площині Р - це лінія перетину її з даної площиною або поверхнею (рис. 36).

Лінію перетину площини Р з горизонтальною площиною називають горизонтальним слідом і позначають P h, а лінію перетину з фронтальним площиною - фронтальним слідом і позначають Р v (рис. 37).

Іноді застосовується і профільний слід P w - лінія перетину даної площини з профільної площиною.

Точки, в яких перетинається площину Р з осями проекцій, називають точками сходу слідів. Р х - точка сходження слідів на осі х, P у - на осі у, а Р z - на осі z (рис. 37). в точці Р перетинаються сліди P h і P v і т. д.

Сліди P h і P v площині Р є прямими, які і лежать на горизонтальній і фронтальній площинах. Вони мають по одній зі своїх проекцій, які збігаються з віссю х: горизонтальний слід P h - фронтальну, а фронтальний P v- горизонтальну проекції.

Будь-яку площину Р можна задати на епюрі за допомогою вказівки положення двох її слідів - горизонтального і фронтального (рис. 38).

Сліди P h і P v найчастіше зображуються парою пересічних або паралельних прямих і тому можуть визначати положення площини в просторі.

3. Пряма, що лежить у цій площині

Пряма належить площині Р в тому випадку, якщо будь-які дві її точки лежать в даній площині.

Наприклад, якщо сліди прямої лежать на однойменних слідах площині, то пряма лежить у цій площині (рис. 39).

Розглянемо побудову прямої, що лежить у цій площині Р.

Перший спосіб. Візьмемо на слідах P h і P v по одній точці (рис. 40) і розглянемо їх як сліди шуканої прямої.

Розглядаючи сліди прямої, легко побудувати її проекції.

Другий спосіб. Одну проекцію прямої, наприклад горизонтальну 1, можна провести (рис. 40). Точки її перетину зі слідом P h і віссю х визначать горизонтальні проекції h і v слідів шуканої прямої. Якщо з'єднати прямою фронтальні проекції h? і v? ��лідів, можна отримати фронтальну проекцію 1 ?.

4. Горизонталі і фронталі площині

Серед прямих, які лежать в деякій площині, можна виділити два класи прямих, що грають велику роль при вирішенні різноманітних задач. Це прямі, які називають горизонталями і Фронтале.

Горизонталь площини Р (рис. 41) - пряма, яка лежить в цій площині і паралельна горизонтальній площині. Горизонталь як пряма, паралельна горизонтальній площині, має фронтальну проекцію г? , Паралельну осі х.

Три прямі - горизонталь Г, її горизонтальна проекція г і горизонтальний слід P h площині Р - паралельні (рис. 42).

Дійсно, горизонталь є прямою, паралельною горизонтальній площині, і тому не має горизонтального сліду P h, лежачого з нею в одній площині. При цьому горизонталь Г не може перетнути свою горизонтальну проекцію г. В іншому випадку в цій точці перетину вона зустрічала б горизонтальну площину, що суперечить визначенню, т. Е. Все три прямі Г, г і P h паралельні.

Будь-яка з площин має безліч горизонталей. Все горизонталі цій площині паралельні один одному внаслідок того, що всі вони паралельні прямій P h.

Фронталь площини Р - пряма, яка лежить в цій площині і паралельна фронтальній площині (рис. 43).

Фронталь є прямою, паралельною фронтальній площині, і її горизонтальна проекція ф паралельна осі х.

Фронталь Ф, її фронтальна проекція ф? і фронтальний слід Pv взаємно паралельні. У кожній площині є незліченна безліч Фронтале. Все фронталі цій площині паралельні, за винятком площині, паралельної фронтальній площині.

5. Точка, що лежить у цій площині

Якщо необхідно побудувати деяку точку в цій площині Р, то потрібно попередньо провести в цій площині одну з прямих і на ній взяти потрібну точку.

Якщо завдання зворотна, т. Е. Необхідно дізнатися, чи лежить дана точка в площині Р, то потрібно провести через цю точку якусь пряму, що лежить в цій площині. Якщо таку пряму провести не можна, то досліджувана точка М не лежить в площині Р.

Часто в якості допоміжної прямої застосовують горизонталь або фронталь, хоча можна застосовувати і прямі загального положення.

Покажемо побудову в площині Р довільної точки (рис. 44).

Для виконання завдання необхідно провести будь-яку горизонталь Г цій площині і на ній вибрати деяку точку М. Дана точка належить площині, отже, завдання виконано.

6. Побудова слідів площини

Розглянемо побудову слідів площини Р, яка задана парою пересічних прямих I і II (рис. 45).

Якщо пряма знаходиться на площині Р, то її сліди лежать на однойменних слідах площині. Тому сліди площини, які необхідно знайти, повинні проходити через однойменні сліди всіх прямих, що знаходяться в цій площині, т. Е. Знаходимо сліди обох прямих I і II. Поєднавши їх горизонтальні сліди h 1 і h 2, можна отримати горизонтальний слід P h площині Р, а якщо з'єднати фронтальні v? 1, і v? 2, можна отримати фронтальний слід P v.

Обидва сліду P h і Р повинні перетинатися на осі х в точці сходу Р х або виявитися одночасно їй паралельними. Таким способом здійснюється перевірка правильності побудови, т. Е. Для побудови слідів площини можливо обмежитися перебуванням будь-яких трьох слідів двох прямих, що визначають площину.

7. Різні положення площини

Площиною загального положення називається площина, що не паралельна і не перпендикулярна ні однієї площини проекцій. Сліди такій площині також не паралельні і не перпендикулярні осях проекцій.

Проектують площині - це площини, які перпендикулярні одній, і тільки однієї, площини проекцій.

На малюнку 46 показана горизонтально-проектує площину Р, яка перпендикулярна горизонтальній площині; на малюнку 47 - фронтально-проектує площину Q, яка перпендикулярна фронтальної площини, і на малюнку 48 - профільно-проектує площину R, яка перпендикулярна профільної площини.

Серед властивостей проектують площин можна виділити наступні.

1. На одну з площин проекцій, т. Е. На ту, якою дана площину перпендикулярна, ця площину проектується у вигляді прямої лінії. У цьому випадку говорять про проекції площини, маючи на увазі під нею саме цю пряму. Горізонтальнопроектірующая площину Р має горизонтальну проекцію р (рис. 46), фронтально-проектує площину Q - фронтальну проекцію q? (рис. 47), а профільно-проектує R - профільну проекцію r? (Рис. 48). Дані проекції збігаються з однойменними слідами площин, т. Е. P = P h (рис. 46), q? = Q v (рис. 47) і r? = R w (рис. 48).

2. Будь-яка фігура, яка лежить в проецирующей площині, проектується у вигляді відрізка прямої на площину проекцій, перпендикулярну даній площині, т. Е. Трикутник ABC, який лежить в площині Р (рис. 46), має горизонтальну проекцію abc на горизонтальній проекції площини р (р = P h).

3. фронталі горизонтально-проецирующей площині Р (рис. 47) перпендикулярні горизонтальній площині, а горизонталі фронтально-проектує площині Q (рис. 47) перпендикулярні фронтальній площині, т. Е. Перпендикулярність Фронтале горизонтальній площині визначає горизонтально-проектує площину, а перпендикулярність горизонталей фронтальній площині є ознакою фронтально-проектує площині. Профільно-проектує площину Р (рис. 47) має горизонталі, які є одночасно і Фронтале; ті і інші в цьому випадку перпендикулярні профільної площини.

4. Горизонтально-проектує площину Р паралельна осі z, тому її сліди Р v і P w також є паралельними осі z. Фронтально-проектує площину Q паралельна осі у, тому Q h і Q w паралельні осі у. Профільно-проектує площину R паралельна осі х, і її сліди R h і R vпараллельни осі х. Треті сліди цих площин, а саме P h, Q v і R w, здатні займати будь-яке положення щодо осей проекцій в залежності від кутів нахилу цих площин до площин проекцій.

5. Проектуючі площині з площинами проекції утворюють кути, розміри яких видно на епюрі. На малюнках 46, 47 і 48 позначений буквою кут між проектує площиною і горизонтальною площиною, буквою - кут з фронтальною площиною і буквою - з профільної площиною. Важливо, що для даних площин один з цих кутів обов'язково прямий, а два інших кута складають в сумі 90 °. Дані два кута на епюрі рівні кутах, які утворюються слідами площини з осями проекцій.

Розглянемо площину, яка містить вісь х. Ця площина (рис. 49) належить до числа профільно-які проектують; вона перпендикулярна профільної площини W, так як містить вісь х.

При цьому горизонтальний і фронтальний сліди R h і R v зливаються з віссю х і не визначають положення площини R в просторі. Для визначення площини потрібно додатково поставити її профільну проекцію r? (R? = R w) (рис. 49) або вказати положення будь-якої точки А на цій площині (рис. 49).