Визначення. Раціональним нерівністю називають таку нерівність, яке за допомогою рівносильних перетворень зводиться до одного з наступних нерівностей
де P (x) і Q (x) - многочлени.
Для вирішення раціональних нерівностей часто використовують зручний спосіб, який отримав назву «метод інтервалів». Продемонструємо застосування методу інтервалів на прикладах.
Приклад 1. вирішити нерівність
Рішення . вводячи позначення
перепишемо нерівність (1) у вигляді
Зауважимо, що і чисельник, і знаменник дробу з правої частини формули (2) є твором виразів типу
де a - дійсне число, а k - натуральне число. Дійсно, твір виразів
одно чисельнику дробу (2), а твір виразів
одно знаменника дробу (2).
У разі, коли показник ступеня k у формулі (4) є непарним числом , Вираз (4) негативно для всіх значень x, що лежать на числової осі зліва від числа a, і позитивно для всіх значень x, що лежать на числовій осі праворуч від числа a.
У разі, коли показник ступеня k у формулі (4) є парним числом , Вираз (4) позитивно для всіх значень x, відмінних від числа a.
Отже, якщо відзначити на числової осі числа
грають роль числа a з формули (4) в виразах (5), а також відзначити на числової осі числа
грають роль числа a з формули (4) в виразах (6), то всередині кожного з проміжків, отриманих на числової осі, функція (2) буде зберігати свій знак. Іншими словами, всередині кожного з отриманих проміжків числової осі значення функції (2) будуть або позитивними, або негативними.
Для того, щоб скористатися цим міркуванням, відзначимо на числової осі в потрібному порядку числа (7) і (8), причому числа (7) зобразимо зафарбованими кружками, а числа (8) - незафарбованими кружками (рис.1).
Перейдемо від малюнка 1 до малюнка 2.
На малюнку 2 підкреслені числа 3 і 4, тобто ті з чисел (7) і (8), яким відповідають парні показники ступеня в виразах (5) і (6). Дійсно, числам 3 і 4 відповідають парні показники ступеня в виразах (5) і (6) підкреслено число 3, тобто із чисел (7) і (8), якому відповідає парний показник ступеня в виразах (5) і (6). Дійсно, числу 3 відповідає парний показник ступеня у виразі (6), оскільки числа 3 відповідає вираз
(X - 3) 100
з показником ступеня 100, а числу 4 відповідає вираз.
(X - 4) 2
з показником ступеня 2.
Нанесемо на малюнок 2 хвильову лінію, починаючи від правого верхнього кута малюнка і рухаючись вліво (рис.3).
Ми починаємо вести хвильову лінію від правого верхнього кута малюнка, оскільки праворуч від усіх точок (7) і (8) функція (2) набуває додатних значень.
Зауважимо, що хвильова лінія на малюнку (3) поблизу від підкреслених точок 3 і 4 підкресленою точки 3 розташовується по одну сторону від числової осі, а в точках
яким відповідають непарні показники ступеня в виразах (5) і (6), перетинає числову вісь і поблизу від цих точок розташовується по різні боки від числової осі.
Важливо відзначити, що значення функції (2) всередині кожного з проміжків мають один і той же знак. При переході від проміжку до сусіднього проміжку через точки (9), яким відповідають непарні показники ступеня в виразах (5) і (6), значення функції (2) змінюють знак на протилежний. При переході від проміжку до сусіднього проміжку через точки 3 і 4, яким відповідають парні показники точку 3, якій відповідає парний показник ступеня в виразах (5) і (6), значення функції (2) знак не змінюють.
Нанесемо на малюнок 3 знаки «+» і «-», як показано на малюнку 4.
На проміжках, відмічені знаком «+», функція (2) набуває додатних значень. На проміжках, відмічені знаком «-», функція (2) набуває від'ємних значень. Звідси випливає, що рішенням нерівності (1) є об'єднання проміжків, відмічені знаком «-», оскільки саме на цих проміжках функція (2) набуває від'ємних значень. Для завершення рішення прикладу залишається лише додати, що кінці проміжків
відмічені на малюнках зафарбованими кружками, входять у відповідь завдання, а кінці проміжків
відмічені на малюнках незафарбованими кружками, що не входять у відповідь завдання.
відповідь:
Приклад 2. вирішити нерівність
Рішення . Перетворимо нерівність (10) до такого виду, щоб можна було застосувати метод інтервалів:
нерівність
має вигляд (1). Вирішимо його методом інтервалів. Для цього зазначимо незафарбованими кружками числа
Проведемо хвилю, починаючи рух від правого верхнього кута, і відзначимо знаками «+» і «-» проміжки числової осі (Рис.6)
Рішенням нерівності (11) є проміжки, відмічені знаком «-». Кінці проміжків у відповідь не входять.
відповідь: 
Зауваження. Пропонуємо Вам ознайомитися з нашим навчальним посібником «Рішення раціональних нерівностей» , Близько пов'язаним з матеріалом даного розділу довідника.
На нашому сайті можна також ознайомитися з розробленими викладачами навчального центру «резольвенту» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ і ОГЕ з математики .
Запрошуємо школярів (можна разом з батьками) на безкоштовне тестування з математики, що дозволяє з'ясувати, які розділи математики і навички у вирішенні завдань є для учня «проблемними».
Запис по телефону (495) 509-28-10
Для школярів, що бажають добре підготуватися і здати ЄДІ або ОГЕ з математики або російській мові на високий бал, навчальний центр «резольвенту» проводить
У нас також для школярів організовані
