Ali pa heksaedron je tridimenzionalna figura, vsak obraz je kvadrat, v katerem so, kot vemo, vse strani enake. Diagonala kocke je segment, ki prehaja skozi središče figure in povezuje simetrične točke. V pravilnem heksaedru so 4 diagonale, vse pa bodo enake. Zelo pomembno je, da diagonale same figure ne zamenjamo z diagonalo njegovega obraza ali kvadrata, ki leži na njenem dnu. Diagonalen obraz kocke prehaja skozi središče obraza in povezuje nasprotna vozlišča kvadrata.
Formula za iskanje diagonale kocke
Diagonalo pravilnega poliedra je mogoče najti z zelo preprosto formulo, ki jo je treba zapomniti. D = a√3, kjer je D diagonal kocke in je rob. Prikazan je primer problema, kjer je potrebno poiskati diagonalo, če je znano, da je dolžina njenega roba 2 cm, tu je vse samo D = 2√3, tudi ničesar ni treba upoštevati. V drugem primeru naj bo rob kocke cm3 cm, potem dobimo D = √3√3 = =9 = 3. Odgovor: D je 3 cm.
Formula, s katero lahko najdemo diagonalo obraza kocke
Diago 
Po formuli lahko najdete tudi obraz. Diagonale, ki ležijo na robovih, so le 12 kosov in vsi so enaki. Sedaj si zapomnimo, da je d = a√2, kjer je d diagonal kvadrata, in je tudi rob kocke ali strani kvadrata. Razumevanje, od kod prihaja ta formula, je zelo preprosto. Navsezadnje sta obe strani kvadrata in diagonalna oblika: v tem trio diagonala igra vlogo hipotenuze, na straneh kvadrata pa so noge, ki imajo enako dolžino. Spomnimo se Pitagorejevega izreka in vse bo takoj padlo na svoje mesto. Zdaj je naloga: rob heksaedra je ,8 cm, potrebno je najti diagonalo njegovega obraza. V formulo vstavimo in dobimo d = √8 =2 = √16 = 4. Odgovor: diagonala obraza kocke je 4 cm.
Če je diagonalna površina kocke znana
S pogojem problema dobimo samo diagonalo obraza pravilnega poliedra, ki je, recimo, ,2 cm, in poiskati diagonalo kocke. Formula za reševanje tega problema je nekoliko bolj zapletena kot prejšnja. Če vemo d, potem lahko najdemo rob kocke, ki temelji na naši drugi formuli d = a√2. Dobimo a = d / =2 = /2 / =2 = 1cm (to je naš rob). Če je ta količina znana, potem je enostavno najti diagonalo kocke: D = 1√3 = √3. Tako smo rešili naš problem.
Če je površina znana
Naslednji algoritem rešitve temelji na iskanju diagonale, če predpostavimo, da je enak 72 cm 2. Najprej bomo našli območje enega obraza in jih je skupaj šest, tako da moramo 72 deliti s 6, dobimo 12 cm 2. To je področje ene ploskve. Da bi našli rob pravilnega poliedra, je treba spomniti na formulo S = a2, kar pomeni = √S. Zamenjajmo in dobimo a = (12 (rob kocke). In če vemo to vrednost, potem diagonale ni težko najti D = a√3 = √12 =3 = =36 = 6. Odgovor: diagonala kocke je 6 cm 2.
Če je znana dolžina robov kocke
Obstajajo primeri, ko je problem dana le dolžina vseh robov kocke. Nato je potrebno to vrednost razdeliti na 12. To je število strani v pravilnem poliedru. Na primer, če je vsota vseh robov 40, potem je ena stran enaka 40/12 = 3.333. Vstavimo v našo prvo formulo in dobimo odgovor!
V katerem morate najti rob kocke. To je definicija dolžine roba kocke s površino kocke, z volumnom kocke, z diagonalo površine kocke in z diagonalo kocke. Za te naloge upoštevajte vse štiri možnosti. (Preostale naloge so praviloma različice zgoraj navedenih ali naloge v trigonometriji, ki so zelo posredno povezane z obravnavanim vprašanjem)
Če poznate površino kocke, potem ugotovite, da je rob kocke zelo preprost. Ker je površina kocke kvadrat s stranico, ki je enaka robu kocke, je njeno območje enako kvadratu roba kocke. Zato je dolžina roba kocke enaka kvadratnemu korenu površine njegovega obraza, to je:
in - dolžino roba kocke,
S je površina obraza kocke.
Še lažje je najti obraz kocke v svoji prostornini. Glede na to, da je prostornina kocke enaka kocki (tretje stopnje) dolžine roba kocke, dobimo, da je dolžina roba kocke enaka korenu kubične (tretje stopnje) njegove prostornine, tj:
in - dolžino roba kocke,
V je volumen kocke.
Dolžina roba kocke po znanih diagonalnih dolžinah je nekoliko težja. Označi z:
in - dolžino roba kocke;
b - dolžina diagonale obraza kocke;
c - dolžina diagonale kocke.
Kot je razvidno iz slike, diagonala obraza in robov kocke tvorita pravokotni enakostranični trikotnik. Zato je s pitagorejskim izrekom:
Od tu najdemo:
(da najdete rob kocke, ki jo morate izvleči kvadratni koren od polovice kvadrata diagonalne površine).
Da bi našli rob kocke vzdolž diagonale, ponovno uporabimo vzorec. Diagonala kocke (c), diagonala obraza (b) in rob kocke (a) tvorita pravi trikotnik. Torej, v skladu s Pitagorovim izrekom:
Uporabljamo zgoraj navedeno razmerje med a in b in nadomestimo v formuli
b ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2. Dobimo:
a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, od kod smo našli:
3 * a ^ 2 = c ^ 2, zato:
Kocka je pravokotni paralelepiped, katerega robovi so enaki. Zato se poenostavi splošna formula za volumen pravokotne paralelepipede in formula za njeno površino v primeru kocke . Prav tako je mogoče najti prostornino kocke in njeno površino, poznati količino krogle, ki je zapisana v njej, ali kroglo, opisano okoli nje.
Potrebovali boste
- dolžina strani kocke, polmer vpisane in opisane krogle
Navodila
Volumen pravokotnega paralelepipeda je: V = abc - kjer so a, b, c njegove dimenzije. Zato je prostornina kocke enaka V = a * a * a = a ^ 3, kjer je a dolžina strani kocke, površina kocke pa je enaka vsoti površin vseh njegovih ploskev. Kocka ima šest obrazov, zato je njena površina S = 6 * (^ 2).
Pustite, da se žoga prilega v kocko. Očitno je, da bo premer te kroglice enaka strani kocke . Če nadomestimo dolžino premera v izrazu za prostornino namesto dolžine roba kocke in uporabimo, da je premer enak dvakratnemu polmeru, dobimo potem V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3), kjer je d premer vpisanega kroga. in r je polmer vpisanega kroga.Površina kocke bo S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).
Naj bo krogla opisana okoli kocke . Nato bo njegov premer sovpadal z diagonalo kocke . Diagonala kocke prehaja skozi središče kocke in povezuje dve njeni nasprotni točki.
Razmislite o prvem obrazu kocke . Robovi te ploskve so noge pravokotnega trikotnika, v katerih bo diagonala obraza d hipotenuza. Potem s pitagorejskim izrekom dobimo: d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.
Nato razmislite o trikotniku, v katerem je hipotenuza diagonala kocke , in diagonala obraza d in enega od robov kocke a sta njegovi nogi. Podobno, s Pitagorovim izrekom dobimo: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) = a * sqrt (3).
Torej, po izracunani formuli, je diagonala kocke D = a * sqrt (3). Zato je a = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). Zato je V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt (3)), kjer je R polmer opisane krogle, površina kocke je S = 6 * ((D / sqrt (3)) ^ 2) = 6 * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).
Pogosto obstajajo naloge, pri katerih morate najti rob kocke, to je pogosto treba opraviti na podlagi informacij o njegovi prostornini, površini fasete ali diagonali. Obstaja več možnosti za določanje roba kocke.
V tem primeru, če je območje kocke znano, se lahko rob enostavno določi. Obraz kocke je kvadrat s stranico, ki je enaka robu kocke. Njena površina je enaka kvadratnemu robu kocke. Uporabite formulo: a = ,S, kjer je a dolžina roba kocke, in S je površina obraza kocke. Iskanje robov kocke po volumnu je še enostavnejša naloga. Treba je upoštevati, da je prostornina kocke enaka kocki (v tretji stopnji) dolžino roba kocke. Izkazalo se je, da je dolžina roba enaka kubični korenini njegovega volumna. To pomeni, da dobimo naslednjo formulo: a = ,V, kjer je a dolžina roba kocke, in V je volumen kocke.
Diagonalno lahko najdete tudi rob kocke. Zato potrebujemo: a - dolžino roba kocke, b - dolžino diagonale obraza kocke, c - dolžino diagonale kocke. Po Pitagorejevem izreku dobimo: a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2, in od tu lahko enostavno izpeljemo naslednjo formulo: a = √ (b ^ 2/2), ki izvleče rob kocke.
Še enkrat, z uporabo Pitagorejevega izreka (^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2), lahko dobimo naslednje razmerje: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, iz katerega izhajamo: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, zato lahko rob kocke dobimo takole: a = √ (c ^ 2/3).
