img

Підготовка школярів до ЄДІ і ОГЕ в навчальному центрі «резольвенту» (Довідник з математики

Визначення. Раціональним нерівністю називають таку нерівність, яке за допомогою рівносильних перетворень зводиться до одного з наступних нерівностей

де P (x) і Q (x) - многочлени.

Для вирішення раціональних нерівностей часто використовують зручний спосіб, який отримав назву «метод інтервалів». Продемонструємо застосування методу інтервалів на прикладах.

Приклад 1. вирішити нерівність

Рішення . вводячи позначення

перепишемо нерівність (1) у вигляді

Зауважимо, що і чисельник, і знаменник дробу з правої частини формули (2) є твором виразів типу

де a - дійсне число, а k - натуральне число. Дійсно, твір виразів

одно чисельнику дробу (2), а твір виразів

одно знаменника дробу (2).

У разі, коли показник ступеня k у формулі (4) є непарним числом , Вираз (4) негативно для всіх значень x, що лежать на числової осі зліва від числа a, і позитивно для всіх значень x, що лежать на числовій осі праворуч від числа a.

У разі, коли показник ступеня k у формулі (4) є парним числом , Вираз (4) позитивно для всіх значень x, відмінних від числа a.

Отже, якщо відзначити на числової осі числа

грають роль числа a з формули (4) в виразах (5), а також відзначити на числової осі числа

грають роль числа a з формули (4) в виразах (6), то всередині кожного з проміжків, отриманих на числової осі, функція (2) буде зберігати свій знак. Іншими словами, всередині кожного з отриманих проміжків числової осі значення функції (2) будуть або позитивними, або негативними.

Для того, щоб скористатися цим міркуванням, відзначимо на числової осі в потрібному порядку числа (7) і (8), причому числа (7) зобразимо зафарбованими кружками, а числа (8) - незафарбованими кружками (рис.1).

Перейдемо від малюнка 1 до малюнка 2.

На малюнку 2 підкреслені числа 3 і 4, тобто ті з чисел (7) і (8), яким відповідають парні показники ступеня в виразах (5) і (6). Дійсно, числам 3 і 4 відповідають парні показники ступеня в виразах (5) і (6) підкреслено число 3, тобто із чисел (7) і (8), якому відповідає парний показник ступеня в виразах (5) і (6). Дійсно, числу 3 відповідає парний показник ступеня у виразі (6), оскільки числа 3 відповідає вираз

(X - 3) 100

з показником ступеня 100, а числу 4 відповідає вираз.

(X - 4) 2

з показником ступеня 2.

Нанесемо на малюнок 2 хвильову лінію, починаючи від правого верхнього кута малюнка і рухаючись вліво (рис.3).

Ми починаємо вести хвильову лінію від правого верхнього кута малюнка, оскільки праворуч від усіх точок (7) і (8) функція (2) набуває додатних значень.

Зауважимо, що хвильова лінія на малюнку (3) поблизу від підкреслених точок 3 і 4 підкресленою точки 3 розташовується по одну сторону від числової осі, а в точках

яким відповідають непарні показники ступеня в виразах (5) і (6), перетинає числову вісь і поблизу від цих точок розташовується по різні боки від числової осі.

Важливо відзначити, що значення функції (2) всередині кожного з проміжків мають один і той же знак. При переході від проміжку до сусіднього проміжку через точки (9), яким відповідають непарні показники ступеня в виразах (5) і (6), значення функції (2) змінюють знак на протилежний. При переході від проміжку до сусіднього проміжку через точки 3 і 4, яким відповідають парні показники точку 3, якій відповідає парний показник ступеня в виразах (5) і (6), значення функції (2) знак не змінюють.

Нанесемо на малюнок 3 знаки «+» і «-», як показано на малюнку 4.

На проміжках, відмічені знаком «+», функція (2) набуває додатних значень. На проміжках, відмічені знаком «-», функція (2) набуває від'ємних значень. Звідси випливає, що рішенням нерівності (1) є об'єднання проміжків, відмічені знаком «-», оскільки саме на цих проміжках функція (2) набуває від'ємних значень. Для завершення рішення прикладу залишається лише додати, що кінці проміжків

відмічені на малюнках зафарбованими кружками, входять у відповідь завдання, а кінці проміжків

відмічені на малюнках незафарбованими кружками, що не входять у відповідь завдання.

відповідь:

Приклад 2. вирішити нерівність

Рішення . Перетворимо нерівність (10) до такого виду, щоб можна було застосувати метод інтервалів:

нерівність

має вигляд (1). Вирішимо його методом інтервалів. Для цього зазначимо незафарбованими кружками числа

Проведемо хвилю, починаючи рух від правого верхнього кута, і відзначимо знаками «+» і «-» проміжки числової осі (Рис.6)

Рішенням нерівності (11) є проміжки, відмічені знаком «-». Кінці проміжків у відповідь не входять.

відповідь: відповідь:

Зауваження. Пропонуємо Вам ознайомитися з нашим навчальним посібником «Рішення раціональних нерівностей» , Близько пов'язаним з матеріалом даного розділу довідника.

На нашому сайті можна також ознайомитися з розробленими викладачами навчального центру «резольвенту» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ і ОГЕ з математики .

Запрошуємо школярів (можна разом з батьками) на безкоштовне тестування з математики, що дозволяє з'ясувати, які розділи математики і навички у вирішенні завдань є для учня «проблемними».

Запис по телефону (495) 509-28-10

Для школярів, що бажають добре підготуватися і здати ЄДІ або ОГЕ з математики або російській мові на високий бал, навчальний центр «резольвенту» проводить

У нас також для школярів організовані

Популярные новости
Шумоизолируем стены и перекрытия потолка в каркасном доме
Комфортная атмосфера личного пространства деревянного дома во многом зависит от качественной звукоизоляции. Несмотря на то, что дерево хороший проводник шума, каркасный дом достаточно тихий. Это обусловлено
Звукоизоляция квартиры своими руками: как сделать шумоизоляцию стен, пола и потолка
Многих жителей многоквартирных домов волнует вопрос шумных соседей. Особенно остро стоит этот вопрос для жителей панельных домов, где стены тонкие и хорошо пропускают звук. Сегодня мы расскажем, как делается
Звукоизоляция пола в деревянном доме своими руками — пошаговые инструкции! — Своими руками
Старые деревянные дома сейчас уже редкость, но мода на здоровый образ жизни и экологию привела к тому, что этот тип жилья стал востребованным. Дачи и загородные дома часто строятся из дерева, и их владельцам
Звукоизоляция пола в деревянном доме
Старые деревянные дома сейчас уже редкость, но мода на здоровый образ жизни и экологию привела к тому, что этот тип жилья стал востребованным. Дачи и загородные дома часто строятся из дерева, и их владельцам
Межэтажное утепление и звукоизоляцияв деревянном доме: выбор материала и технология работ
Содержание статьи: Чердачное перекрытие частного дома из дерева должно обладать хорошими теплоизоляционными и звукоизолирующими характеристиками. Если коттедж одноэтажный, то добиться этого достаточно
Звукоизоляция стен своими руками от соседей в квартире, в деревянном доме и пр, материалы, видео
Звук оказывает заметное влияние на нашу психику, эмоциональное и физическое состояние. Если в работе, отдыхе или на досуге вас сопровождает даже незначительный шум, это приводит к стрессу, снижению остроты
Шумоизоляция
огда о жилом доме говорят как об элитном объекте, подразумевается, что его потребительские свойства по основным критериям, характерным для жилого здания, существенно выше аналогичных параметров типового
Самый лучший материал для шумоизоляции стен
Практически каждый человек после проведенной за стенами фасада с панелями под дерево бессонной ночи задается вопросом, насколько качественна в его доме шумоизоляция стен, является ли предлагаемые в настоящее
Звукоизоляция стен в деревянном доме что лучше
Надежная шумоизоляция стен в деревянном доме должна монтироваться в процессе основного строительства. Материалы, значительно снижающие уровень проникающего шума, очень часто используются и как утеплитель
Звукоизоляция квартиры в панельном доме
Те, кто живет в панельном доме, каждый день сталкивается с плохой шумоизоляцией своей квартиры, то соседи громко гуляют, то кто-то на 5 этаже дрелью работает. И у всех появляется желание – сделать звукоизоляцию
Все новости